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@@gadyakhrenova864Irrt euch nicht: Gott lässt sich nicht spotten! Denn was der Mensch sät, das wird er auch ernten. Galaterbrief 6:7 Denn Gott wird jedes Werk vor ein Gericht bringen, samt allem Verborgenen, es sei gut oder böse. Prediger 12:14 Darin aber besteht das Gericht, dass das Licht in die Welt gekommen ist, und die Menschen liebten die Finsternis mehr als das Licht; denn ihre Werke waren böse. Denn jeder, der Böses tut, hasst das Licht und kommt nicht zum Licht, damit seine Werke nicht aufgedeckt werden. Johannes 3:19-20 Jesus aber rief und sprach: Wer an mich glaubt, der glaubt nicht an mich, sondern an den, der mich gesandt hat. Und wer mich sieht, der sieht den, der mich gesandt hat. Ich bin als ein Licht in die Welt gekommen, damit jeder, der an mich glaubt, nicht in der Finsternis bleibt. Wer mich verwirft und meine Worte nicht annimmt, der hat schon seinen Richter: Das Wort, das ich geredet habe, das wird ihn richten am letzten Tag. Johannes 12:44-46,48
Hab ne Alternative zum Berechnen der Quadratfläche. Wenn man eine Diagonale durch das Quadrat zeichnet, dann ergibt sich ja eine Länge von 6. Man hat nun 2 Dreiecke mit einer Grundseite von 6 cm. Die Höhe der beiden Dreiecke ergibt sich dann ebenfalls aus dem radius. Das heißt man hat zwei Dreiecke mit Grundseite = 6cm und Höhe = 3cm. So kann man einfach die Formel für Dreieck nutzen und verdoppeln und hat die Lösung mit nem sehr einfachen Weg:D
Noch einfacher: man hat ja die Diagonale mit 2r. Klappt man die gegenüberliegenden Dreiecke auf die gleiche Seite, dann kriegt man ein Rechteck Ar = 2r*r mit Seite a=2r=6 und Seite b=r=3. Durch ausklammern kommt man dann direkt auf rote Fläche A=r²π - 2r*r = r²(π - 2), was Lösung d entspricht.
Alternative: Die Diagonale des Quadrates ist 1,414 (Wurzel2). Das nutzen Zimmerleute und Maurer, um auf grossen Längen die Rechtwinkligkeit "auszumessen",Hier also 6/ 1,414=4,2433, das zum Quadrat = ~18
Ich hab in Gedanken vom Mittelpunkt eine gerade ins rechte untere Eck gezogen. Dieses rechtwinkelige Dreieck bildet ein Viertel des Quadrats. Heißt aber auch dass man die hälfte der Quadratfläche einfach durch 3 zum Quadrat ausrechnen kann. Und daher ist 3x3x2 auch einfach die Fläche des Quadrates.
Meine Lösung: Kreis minus Quadrat. 3^2*Pi oder 9Pi ist der Kreis. Diagonale zum Quadrat Halbe is das Quadrat, also 36/2 bzw 18. (Grund Seitenlänge ist bekanntlich d/sqrt(2). Wenn man das quadriert, kommt d^2/2 raus…). Also A = 9Pi -18. wenn man 9 heraushebt, kommt 9 (Pi -2) raus!
Flächeninhalt Kreis = Pi * 3^2 Flächeninhalt vom Quadrat => Gedanklich die Diagonalen einziehen => 4 Dreiecke wobei 2 immer ein Quadrat mit Kantenlänge 3 ergeben. => 2 * 3°2 Kreis - Quadrat Pi * 3^2 - 2 * 3^2 | 3^2 ausklammern und ausrechnen Ergebnis: 9 ( Pi - 2 ) cm²
Beim Quadrat ist die Seitenlänge x = Länge der Diagonale, dividiert durch Wurzel aus 2; also 6 geteilt durch 1.41421. Dieses Ergebnis zum Quadrat ergibt auch wieder 18.
Die Alternative ohne Pythagoras oder Wurzelziehen: Man dreht das ganze um 45 Grad und sieht im Quadrat 2 rechtwinklige Dreiecke mit einer gemeinsamen Basis: Die Fläche eines Dreiecks ist (Basis mal halbe Höhe ) = 6 * 1,5 = 9. Beide Dreiecke mal 2, also hat das Quadrat 18 cm². Restfläche r² * pi - 18 , also D.
Hab eine Lösung gefunden, bischen anders als deine, aber hat zum Erfolg geführt. Fachabitur ist schon lange her, aber Mathe hat mir schon immer Spass gemacht. Ich probiere mich immer wieder gern an deinen Aufgaben. Mach weiter so Lieben Gruß Lothar
Herzlichen Dank für diese Frage am Wochenende 🙏 Mein Lösungsvorschlag lautet: Gesucht wird die rote Fläche, Arot. r=3 cm, Durchmesser wäre, D D=2*r= 6 cm Für das Quadrat, nach dem Satz von Phytagoras gilt: a²+a²=D² 2a²=D² a²=D²/2 = 6²/2 = 18 cm², somit Aquadrat= 18 cm² Die Fläche von dem Kreis, Akreis Akreis= π*r² = π*3² = 9π Arot= 9π-18 = 9*(π-2) cm² ist die Antwort, also d) 🤗
Wenn man das Quadrat verallgemeinert und nur (2r)² = 4r² = a² + a² = 2a² berechnet, kommt man auf 2r² = a². Wenn man dann den Flächeninhalt der gesamten Figur berechnet erhält man: A = πr² - a² = πr² - 2r² = r²(π - 2) Diese allgemeine Lösung mit r = 3 zu bestücken ist dann ein Kinderspiel. 😁
@@m.h.6470 Schön dass Du wieder da bist 🙏😃 ja, ich habe das über die Diagonale also Durchmesser des Kreises berechnet, nach dem D²= a²+a² und D=2r, oder D²= 4r² hätte man auch schreiben können......Die Frage ist ehe Grundschule 4. Klasse 🤭🤫
Die Quadratfläche kann man viel einfacher berechnen: Da die Diagonale 6 lang ist (3•2) und in einem Rechteck beide Diagonalen gleich lang sind und normal aufeinander stehen, rechnet man 6•6/2.
Tolles video! Da merkt man doch leider wie viel man vergisst, wenn man es Jahre lang nicht mehr benötigt... Bis zum Pythagoras war ich noch selbst gekommen, habe aber die gegebene Diagonale (d) nicht eingesetzt (obwohl anfangs erkannt, dass es ja 2 mal Radius sein muss) und schwuppst hats mich beim "nach x umstellen" mit 2 variablen aus der Bahn geworfen... gar nicht übel, das alles mal aufzufrischen.
Hallo Susanne, guten Morgen, zuerst Dir und Thomas ein super Wochenende. Allen anderen hier natürlich auch. Hier mein Lösungsvoschlag: Die rote Fläche ergibt sich aus Fläche Kreis (=Ak) - Fläche Quadrat (=Aq) Ich lasse zunächst die Einheiten weg. Die Fläche des Kreises ist pi * r^2 = pi * (3)^2 = pi * 9 = 9pi Der gegebene Radius von 3 entspricht der halben Diagonalen des Quadrats (Durchmesser des Kreises = Diagonale des Quadrates) Die Diagonale ist demnach 6 Damit lässt sich mit Pythagoras das Quadrat der Seitenlänge s des Quadrats bestimmen. 2s^2 = 6^2 | 2s^2 = 36 |:2 s^2 = 18 Das ist gleichzeitig der der Flächeninhalt des Quadrates Für die rote Fläche Arot ergibt sich somit: Arot = Ak - Aq = 9pi - 18 = 9*(pi-2) Somit ist ist Lösung d) die gesuchte Lösung Allen noch ein super Wochenende. Lasst es euch gut gehen. LG aus dem Schwabenland.
Fürs Quadrat hab ich mir im Kopf vier Dreiecke mit Seitenlänge 3 an beiden Katheten daraus gebastelt, also 4x(3²/2) = 18... erschien mir bissl weniger umständlich. So zu denken habe ich allerdings erst hier (wieder) gelernt, danke dafür :)
d ist richtig Rechnung: A(rot)=3² * pi - 3² * 2 A= 9 * pi - 9 * 2 A=9 (pi - 2) 3² * 2, weil wenn von einer Kante bis zur Mitte 3 cm in einem Quadrat sind, sind es die anderen Kanten auch. Mit 3² berechnet man 2 Hälften der Dreiecke die entstehen, wenn man diesen radius an allen Ecken des Quadrats einzeichnet also * 2 dann hat man das ganze Quadrat
Ich habe den Radius zur rechten unteren Ecke des Quadrats gezogen, daraus ergibt sich, dass wir 2 kat. haben, also 3 hoch2 + 3 hoch2 = 18 und das ist eine Seite des Quadrats hoch2, also Fläche des Quadrats.
Alternative für den Flächenihnalt des Quadrats: der Radius ist eine Hypotenuse eines Gleichschenkeligen rechtwinkeligen Dreiecks. Da c2 = a2+b2 und a2 = b2 heißt das, dass a2 und b2 jeweils c2/2 sind. c2=9 die Hälfte davon ist 4,5. vier dieser Quadrate befinden sich in unserem Quadrat = 18
πr² - 2r² = r² (π - 2) Man kann eigentlich ohne Rechnung auch alles mit einem guten Raten ausschließen, wenn man die Klammern auflöst: a) 8π - 8 : 8 passt nicht zu 3. Raus. Besonders wenn man 9π - B noch hinbekommt. b) 12π - 6 : 12 und 6 passen zu 3 passen, aber wenn man πr² noch drauf hat, dann 9π - B?... Raus. c) 9π - 25 : 25 passt nicht zu 3. d) 9π - 9 : 9 passt zu 3. Möglich. e) 6π / 5 : 5 passt nicht zu 3. Division statt Subtraktion? Und 9π - B... Raus. Alternativ über die Größen: Kreis zu Quadrat sind ungefähr 3:2 im Verhältnis (genau π:2). a) 8π - 8 : ~ 24:8 ~ 3:1. Raus. b) 12π - 6 : ~ 36:6 ~ 6:1. Raus. c) 9π - 25 : ~ 27:25 ~ 1:1. Raus d) 9π - 18: ~ 27:18 ~ 3:2. Möglich. e) 6π / 5 : ~ 18:5 ~ 3.5:1. Raus. Also selbst wenn man es nicht rechnen könnte, gäbe es genug Indizien, die einem bei gutem Raten helfen würden.
Immer wieder schön dir zuzuhören :) und auch andere Ideen zu sehen hätte es zwar über 2 dreiecke in der Mitte gelöst (dadurch wars ein einzeiler da höhe der beiden dreiecke und grundfläche bekannt sind ) aber deine Lösung frischt nochmal anderes wissen wieder auf :)
Ja, ich denke auch das wäre die eleganteste Lösung gewesen. (g*h/2)*2 (2*3 * 3)/2 * 2 oder 6*3. Ab ich hatte auch zuerst die Lösung mit Pythagoras im Kopf, gab ja sehr viele rechte Winkel ;.)
Es gilt allgemein r^2*π = Fläche des Umkreises. Im Quadrat gilt d=√2 * a. Da d=2*r gilt ist 4r^2=2*a^2 und damit Fläche des Quadrats = 2*r^2. Für die Differenz gilt also π*r^2-2*r^2, ausklammern von r^2 führt zu r^2(π-2) als allgemeine Lösung für den Flächeninhalt zwischen Umkreis und zugehörigem Quadrat. Im speziellen Fall für r=3 gilt also 3^2*(π-2)=9*(π-2).
Hallo, das ist eine schöne Aufgabe zum Kopfrechnen: wenn wir die Linie vom Mittelpunkt nach rechts unten ziehen, haben wir ein halbes 3-Quadrat. Davon gibt es 4 Stück. Liebe Grüße Jogi
Ich habe mir die Lösung überlegt, und dann erst das Video angesehen. Als ich die Antwortmöglichkeiten gelesen habe, war ich zunächst etwas besorgt. Habe dann aber den "Stolperstein" mit der Klammer durchschaut:))))) War wieder eine coole Aufgabe - Danke!
Wie immer sehr interessant. Mein Ansatz: Fläche des Quadrates ist d²/2 Fläche des Kreises r²*pi Dann nur noch die Fläche des Quadrates von der des Kreises abziehen.
Jap, das Schwierige bei der Aufgabe ist eher die richtige Lösung bei den Auswahlmöglichkeiten zu finden. Warum wird (Pi-2) als (Pi * -2) gelesen!? Bin da glatt drübergefallen.
ich hab mitlerweile so viele videos von dir geschaut mit solchen aufgaben zum selbst mitdenken, dass ich diesmal garkein problem mehr hatte die lösung zu finden. du förderst wirklich mathematisches denken :)
Dem kann ich nur zustimmen. Nicht die kürzeste, raffinierteste und eleganteste Lösung bringt einem ins mathematische Denken, sondern die genaue Anleitung Schritt für Schritt. Und toll, wenn man mit der Zeit die einzelnen Schritte schon fast vorwegnehmen kann - dann hat man wohl die Sache wirklich verstanden. Und kann sie auch auf andere Aufgaben anwenden. Auf jeden Fall ein grosser Gewinn, um das verstaubte Wissen wieder aufzufrischen.
Danke! Das Ausrechen hat Spaß gemacht, und ich habe mich gefreut, das ich es noch hinbekommen habe. Ich brauche das zwar nicht fürs Studium (habe ich hinter mir) oder beruflich, aber es ist eine schöne Kopfnuss! Bitte weiter so!
Die Diagonale des Quadrates ist 6cm (also d=6cm) Dann gibt es für die Diagonale eines Quadrates folgende Formel d=a*√2 (also a=6/√2) Die Fläche des Quadrates A=a² (also A=18cm²) Rote Fläche = Kreis - Quadrat Rote Fläche = r²*Pi - a² Rote Fläche = 3²*Pi - 18 Rote Fläche = 9*Pi - 18 Rote Fläche = 9*(Pi - 2) cm Antwort D ist richtig. LG Gerald
Lustig, hab die Aufgabe in der Vorschau gesehen und mir gedacht es müsste funktionell: r^2*pi-(2r*arccos45°)^2 sein und jetzt ich sehe ihr löst das so einfach, genial.
Du machst das ganz hervorragend! Deine Erklärungen sind bestens präsentiert, leicht verständlich und einfach nachvollziehbar. Bin 65 Jahre und würde mir gerne wünschen, dass in dieser Art und Weise mir jemand Java und C++ vermitteln könnte. Habe nämlich etliche Ideen für unterschiedliche App's, gehe in Kürze in Rente und Lust auf Neues. Bitte mach weiter so!
Einfach anfangen. Die Syntax lernt man mit der Zeit und wenn es einem Spaß macht und man am Ball bleibt, lernt man nebenbei auch noch alles andere. Bücher und Co benutze ich nur noch als Nachschlagwerk.
Wenn dies eine Multiple Choice Frage ist, die unter Zeitdruck gelöst werden muss, würde ich wie folgt vorgehen: Kreisinhalt ist 9*Pi. Damit kommen nur noch c und d als Antworten in Frage. 9*Pi ist ungefähr 28. Bei Antwort c würden davon 25 abgezogen, die rote Fläche wäre also 3 und somit nur wenig mehr als 10 % der Kreisfläche. Ein Blick auf die Zeichnung zeigt, dass das nicht sein kann, also ist d die richtige Antwort.
An der art und stimme merkt man, dass es dir nich so schlecht geht,find ich gut,ich fang jetzt mal wieder an zu lernen,und wenn ich mal ü I-net etwas kaufen kann,dann rück ich dir was rüber
ich würde die fläche des quadrats so rechnen: A=1/2×e×f (fläche einer raute) das quadrat ist die sonderform einer raute, die beiden diagonalen e und f sind gleich lang.
Einfachere Methode: Konstruiere Mittelpunkt M, konstruiere einen Punkt in der Mitte der Seite des Quadrates P, konstruiere den Punkt Q an einer Ecke des Quadrates. MPQ ist ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck mit Hypotenuse der Länge 3 und Katheten der Länge a/2. Daraus folgt mit Pythagoras (a/2)^2 + (a/2)^2 = 9 (a^2)/4 + (a^2)/4 = 9 1/2 * a^2 = 9 => a^2 = 18. a^2 ist der Flächeninhalt des Quadrats. Dann weitermachen wie im Video.
Das Quadrat zerfällt durch weiter eingezeichnete Radien in 4 gleichschenkliche Dreiecke mit der Schenkel Länge 3, ergibt zu Quadraten zusammengesetzt 2 Qiadrate der Kantenlänge 3....was 2x9 =18 heißt .
Год назад
Eigentlich muss man noch beweisen, dass die beiden Radien einen 180°-Winkel bilden, also eine Diagonale. Sie sagt "aus Symmetriegründen", aber die müsste man eigentlich noch ausführen. Wenn man z.B. alle 4 Radien einzeichnet, hat man 4 kongruente Dreiecke nach Kongruenzsatz SSS, die dann alle rechtwinklig (am Mittelpunkt) sein müssen.
Hallo und vielen Dank für Ihre "kleinen" Übungsstunden, die ich gerne als Anregung benutze, wenn ich meiner Enkelin in Mathe auf die Sprünge helfe. Ich selbst bin promovierter Mathematiker und vielleicht deswegenn ein wenig zu verbiestert, um ohne Ihre anregenden Beispiele meiner Enkelin erfolgreich zu helfen. Also: vielen Dank und es wäre schön, wenn Sie noch lange weitermachen würden.
Bei A=(pi) * 3² - x² (Kreis minus Quadrat) hab ich nur noch das kleine Dreieck dazu genommen a²+b²=c² bei einem gleichschenkligen, rechtwinkligem Dreieck also 3²+3² =c² =2×(3²) Da c=x ist habe ich also (pi)×3²-2×(3²) = (pi)×9-18 = 9×((pi)-2)
Schule is schon einige Jährchen her und hab mit mathe ned viel zu tun, aber die fläche konnte ich im kopf in wemigen minuten ausrechnen, die richtige antwort zu wählen war fast schon schwieriger😅 Aber eh gut wenn der Aufnahmetest eher Logik testet als Formelwissen.
Habe einfach im Quadrat 4 Dreiecke gebildet X=root(2r^2). Also hat das Quadrat den Flächeninhalt A=X^2=2r^2. Spart sogar mindestens einen Rechenschritt.
Die Fläche des Quadrats geht doch viel schneller. Beide Diagonalen (gedanklich) in das Quadrat einzeichnen und man hat 4 rechtwinklige Dreiecke mit Katheten der Länge 3cm. Daraus setzt man 2 Quadrate mit der Kantenlänge 3cm zusammen und hat somit 2 x (3cm)² = 18cm²
Lösung: (d) ist korrekt. Warum? Die Diagonale entspricht ja offensichtlich 2r. Über Pythagoras können wir in einem Quadrat dann die Gleichung aufstellen: (2r)² = a² + a² = 2a² 4r² = 2a² |:2 2r² = a² Der Flächeninhalt für die rote Fläche ist: A = πr² - a² A = πr² - 2r² A = r²(π - 2) A = 3²(π - 2) A = 9(π - 2) [cm²]
Auch hier ist die Anwendung des Pythagorassatzes nicht nötig: Die Hälfte des Quadrats ist direkt als Quadrat mit der Seitenlinie 3 zu erkennen. Also Quadrat = 2*9.
@@namsawam Da wir aber sowieso die Relation zwischen a² und r² brauchen, ist es ein absoluter Umweg, zuerst den Flächeninhalt des Quadrats zu berechnen. Wie man sieht, überspringe ich diesen Schritt direkt und gehe direkt zur Lösung... Das ist bei deiner Vorgehensweise nicht möglich.
@@m.h.6470 Statt 2*9 kann man auch 2*r² sagen und kommt aufs Selbe wie über den Pytagoras. Also kein Umweg, sogar direkter. Demnach nur 9π -2*9 ausklammern, und man erspart sich die Umstellung des Pytagoras.
@@pinkeHelga Lol... nur weil du nichts aufschreibst, ist es deshalb nicht kürzer. Ich bräuchte den Pythagoras auch nicht aufschreiben, sondern nur im Kopf machen... dann bin ich in einer Zeile fertig. UNSINN!
Eine andere mögliche kurze Lösung: Zweiten Radius in eine benachbarte Ecke einzeichnen, dann hat man einen kleineren rechtwinkligen Dreieck (1/4 des Quadrats), Hypotenuse ist die gesuchte Seite des Quadrats. Daher: 3^2 + 3^2 = 9+9=18. Was zugleich genau die Fläche des Quadrats ist. Der Rest ist Geschichte: π*3^2 - 18 = π*9-18 =9(π-2)
Darf ich fragen, ob das heute üblich ist, in Mathe Aufgaben mit einer konkreten Maßeinheit - hier cm^2 - zu stellen? Ich hätte so etwas in der Berufsschule erwartet, aber in einem Studienkolleg? Schließlich gehörtdie Maßeinheit in die Physik und nicht zur Mathematik. Ich bin repetierender Mittfünfziger und habe noch gelernt das zu trennen.
Hallo, ich hätte da noch eine Alternative: die Seitenlänge des Quadrates ist Diagonale x sin(45°) entspricht: 6 x Wurzel(2)/2 Das zum Quadrat (6 x Wurzel(2)/2)² 36 x 2 /4 = 18
Geht natürlich noch ne Ecke weiter ohne X - der Flächeninhalt des Quadrates ist 4*(3*3)/2 (4 gleichseitige Dreiecke am Kreuzungspunkt der Diagonalen) und dabei kommt halt auch 3*3*2 = 18 heraus ^^
Welche Breite hat die Linie von dem Quadrat und von dem Kreis? Berührt die äußere Linie die innere Linie vom Kreis oder zählt das noch nicht? Wie groß muss die Überschneidung sein um als "Berührung" zu zählen?
Alternative super schnell, der Kreis mit Pi R Quadrat sofort mit 9 pi sichtbar, und aufgrund der Symetrie die Seitenlänge des Quadrats mittels Phytagoras SQRT(18) und damit die abzuziehende Fläche 18 also D) in weniger als 12 sec.
Die Antwort kann man auch ganz schnell im Kopf schätzen... Kreisfläche ist 3x3x3 = 27. Das Quadrat wie hier gezeigt, oder auch nach Pythagoras 3x3 + 3x3 = 18, also Wurzel davon etwas mehr als 4 für die Seite des Quadrats, also hat das Quadrat etwas mehr als 16 Größe. 27 minus ca 16 is ca 11 - geht man die Möglichen Antworten durch, kann nur d die Lösung sein, falls man kein Papier zur Hand.
Lösung: a = Seite des Quadrates. Die Diagonale des Quadrates ist 6. Das bedeutet: √(a²+a²) = a*√2 = 6 ⟹ a = 6/√2 Rote Fläche = Kreisfläche - Fläche des Quadrates = π*3²-a² = 9π-18 = 9*(π-2)[cm²] Antwort d) ist richtig.
Zu Berechnen ist es eigentlich ganz einfach: ( r zum Quadrat x Pi ) - (r zum Quadrat * 2). Letzteres ergibt sich logisch dadurch, dass das Quadrat in 4 gleich große Dreiecke geteilt werden kann (einfach 2 gekreuzte Linien, jeweils über die gegenüberliegenden Ecken ziehen). Aus 2 dieser 4 Dreiecken kann man ein (kleineres) Quadrat bilden (was bei gleichschenkeligen, rechtwinkeligen Quadraten immer der Fall ist) und die Fläche des Quadrats besteht eben aus 2 der kleinen Quadraten. Das Quadrat hat also die Fläche 3 zum Quadrat * 2 ... also 9 * 2 = 18. Die Schreibweisen der Lösungsvorschläge habe ich nicht verstanden, deswegen bin ich leider gescheitert.
Meine Erfahrung aus dem praktischen technischen Leben ist die, dass man eigentlich NIE irgendetwas über den Radius berechnet, es sei denn man entwickelt Neuteile. Wenn man z.B auf einer Baustelle etwas ausmessen muss, dann misst man immer den Durchmesser weil das einfach viel genauer ist als einen imaginären Mittelpunkt zu finden und von dort aus zu messen. Ich rechne seit meiner eigenen Schulzeit immer über Durchmesser, die Mathematik bzw. Lehrerschaft sollte diesen Aspekt auf einmal in ihre Beispiele/Rechenaufgaben einfließen lassen. Also A = d^2 * PI / 4 statt r2*PI und mehr Aufgaben dazu bieten. (Das soll keine Kritik, sondern nur eine Anregung sein)
Find die Berechnung des Quadrates über Pythagoras irgendwie unschön. Letztlich kann man die Formel des Drachens nutzen, was die Diagonale e * Diagonale f / 2 wäre, oder man erkennt 2 Dreiecke darin, deren Fläche Grundfläche (= Diagonale) * Höhe (= Radius) / 2 wäre. Da wir 2 Davon haben kürzt sich der Nenner auch weg und man hat es mit 3*6 auch einfach gelöst.
Pythagoras wird nicht benötigt. Bedenkt man das ein Quadrat auch zwei Dreiecke beinhaltet, muss man nur 3x3cm x2 berechnen oder 6x6cm :2 und bekommt so die Grundfläche des Quadrats welche wie im Video 18cm beträgt.
Ich hab de Quadradtfläche über die Flächenformel des Gleichschenkeligen Dreiecks ausgerechnte. g= 2*r; h=r; ADreick= 0,5 *g *h = r'2 damit AQuadrat = 2*r'2 Kreis = r'2*pi Endergebnis A= r'2(pi-2)
Ein anderer Lösungsweg wäre: (Diagonale (=2r) * r) /2 = Fläche Dreieck über der Diagonalen: Fläche Quadrat = 2 * Fläche Dreieck:. Fläche Keis - Fläche Quadrat = Pi r² - 2 * (2r*r)/2 = 9 Pi - 18 Voila!
Habe direkt aus dem Thumbnail heraus die Fläche berechnet und erst danach, beim Anklicken des Videos gesehen, dass es ja vorgegebene Antwortmöglichkeiten gibt. Naja, wie auch immer, die Lösung lautet A ≈ 10,274 cm²
ist die Teilaufgabe (zum Lösen von x²) nicht unnötig umständlich? Ich kann das Quadrat auch in 4 rechtwinklige Dreiecke teilen, deren Seitenlänge bekannt ist (r=3). A = r*r/2*4, kürzen usw. (kommt natürlich am Ende dasselbe raus... ;-))
Der Radius entspricht doch offensichtlich der Länge beider Katheten eines gedachten Dreiecks mit der Seitenlänge des Quadrats als Hypothenuse. Also ganz einfach x²=3²+3²=18.
😂 Hab nur den/das Thumbnail gesehen und ausgerechnet: 10,27. Beim Draufklicken hab ich dann erste gesehen dass man eine Formel angeben soll... Ich hab das aber anders ausgerechnet: da es ja ein Quadrat ist, kann man die halbe Diagonale auch als Seitenlänge eines Quadrates sehen das halb so groß ist. (zur besseren Vorstellung einfach mal im Mittelpunkt eine Linie ins rechte untere Eck des Quadrats ziehen und man hat, wenn man hier 3x3 dividiert durch 2 nimmt, ein Viertel des gesuchten Quadrats. Das bedeuted, man kann auch einfach 3x3x2 als Flächenberechnung des Quadrates nehmen. Ist auch "9x2" wenn mans unbedingt in der Form haben will um die richtige Formel zu finden.
Das geht auch ohne phytagoras. Du hast ein 2 Dreiecke mit C=6 und h=3. A=(6 x 3) /2 x2. 2 kürzen, und die Fläche von den 2 Dreiecken bzw des Quadraten ist 18.
Ich bin garnicht auf die Idee mit der Diagonalen gekommen, ich hab den 90 Grad Winkel nicht im Quadrat gesucht sondern in der Mitte gefunden, also die zusätzliche Line nicht 180 Grad zur bestehenden Line gesetzt sondern da halt nach unten oder oben die 90 Grad genommen, dann mit Pythagoras auch die eine Seite aber mit x als c - Ergebnis offensichtlich gleich
Den Zahlenwert hätte ich Dir nach zwei Minuten sagen können. Der Buchstabe der Lösung hätte länger gedauert. Vielleicht sagt das ja auch etwas über die Aufgabenstellung?
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Darin aber besteht das Gericht, dass das Licht in die Welt gekommen ist, und die Menschen liebten die Finsternis mehr als das Licht; denn ihre Werke waren böse. Denn jeder, der Böses tut, hasst das Licht und kommt nicht zum Licht, damit seine Werke nicht aufgedeckt werden.
Johannes 3:19-20
Jesus aber rief und sprach: Wer an mich glaubt, der glaubt nicht an mich, sondern an den, der mich gesandt hat. Und wer mich sieht, der sieht den, der mich gesandt hat. Ich bin als ein Licht in die Welt gekommen, damit jeder, der an mich glaubt, nicht in der Finsternis bleibt. Wer mich verwirft und meine Worte nicht annimmt, der hat schon seinen Richter: Das Wort, das ich geredet habe, das wird ihn richten am letzten Tag.
Johannes 12:44-46,48
Hab ne Alternative zum Berechnen der Quadratfläche. Wenn man eine Diagonale durch das Quadrat zeichnet, dann ergibt sich ja eine Länge von 6. Man hat nun 2 Dreiecke mit einer Grundseite von 6 cm. Die Höhe der beiden Dreiecke ergibt sich dann ebenfalls aus dem radius. Das heißt man hat zwei Dreiecke mit Grundseite = 6cm und Höhe = 3cm. So kann man einfach die Formel für Dreieck nutzen und verdoppeln und hat die Lösung mit nem sehr einfachen Weg:D
So hab ich es auch gemacht. :)
Anleitung zu ungenau, bin durchgefallen
Noch einfacher: man hat ja die Diagonale mit 2r. Klappt man die gegenüberliegenden Dreiecke auf die gleiche Seite, dann kriegt man ein Rechteck Ar = 2r*r mit Seite a=2r=6 und Seite b=r=3. Durch ausklammern kommt man dann direkt auf rote Fläche A=r²π - 2r*r = r²(π - 2), was Lösung d entspricht.
Alternative: Die Diagonale des Quadrates ist 1,414 (Wurzel2). Das nutzen Zimmerleute und Maurer, um auf grossen Längen die Rechtwinkligkeit "auszumessen",Hier also 6/ 1,414=4,2433, das zum Quadrat = ~18
Ich hab in Gedanken vom Mittelpunkt eine gerade ins rechte untere Eck gezogen. Dieses rechtwinkelige Dreieck bildet ein Viertel des Quadrats. Heißt aber auch dass man die hälfte der Quadratfläche einfach durch 3 zum Quadrat ausrechnen kann.
Und daher ist 3x3x2 auch einfach die Fläche des Quadrates.
Meine Lösung: Kreis minus Quadrat. 3^2*Pi oder 9Pi ist der Kreis. Diagonale zum Quadrat Halbe is das Quadrat, also 36/2 bzw 18. (Grund Seitenlänge ist bekanntlich d/sqrt(2). Wenn man das quadriert, kommt d^2/2 raus…). Also A = 9Pi -18. wenn man 9 heraushebt, kommt 9 (Pi -2) raus!
Flächeninhalt Kreis = Pi * 3^2
Flächeninhalt vom Quadrat => Gedanklich die Diagonalen einziehen => 4 Dreiecke wobei 2 immer ein Quadrat mit Kantenlänge 3 ergeben.
=> 2 * 3°2
Kreis - Quadrat
Pi * 3^2 - 2 * 3^2 | 3^2 ausklammern und ausrechnen
Ergebnis: 9 ( Pi - 2 ) cm²
Beim Quadrat ist die Seitenlänge x = Länge der Diagonale, dividiert durch Wurzel aus 2; also 6 geteilt durch 1.41421. Dieses Ergebnis zum Quadrat ergibt auch wieder 18.
Jip das ist der master trick hier
Wie immer ein fröhliches Lächeln auf den Lippen. Sehr charmant!
Die Alternative ohne Pythagoras oder Wurzelziehen: Man dreht das ganze um 45 Grad und sieht im Quadrat 2 rechtwinklige Dreiecke mit einer
gemeinsamen Basis: Die Fläche eines Dreiecks ist (Basis mal halbe Höhe ) = 6 * 1,5 = 9. Beide Dreiecke mal 2, also hat das Quadrat 18 cm².
Restfläche r² * pi - 18 , also D.
Vom thumbnail dacht ich, dass man die roten Flächen berechnen muss ... habs im Kopf zu ungefähr 10,2 cm² berechnet.
Hab eine Lösung gefunden, bischen anders als deine, aber hat zum Erfolg geführt.
Fachabitur ist schon lange her, aber Mathe hat mir schon immer Spass gemacht.
Ich probiere mich immer wieder gern an deinen Aufgaben.
Mach weiter so
Lieben Gruß Lothar
Herzlichen Dank für diese Frage am Wochenende 🙏
Mein Lösungsvorschlag lautet:
Gesucht wird die rote Fläche, Arot.
r=3 cm, Durchmesser wäre, D
D=2*r= 6 cm
Für das Quadrat, nach dem Satz von Phytagoras gilt:
a²+a²=D²
2a²=D²
a²=D²/2
= 6²/2
= 18 cm², somit
Aquadrat= 18 cm²
Die Fläche von dem Kreis, Akreis
Akreis= π*r²
= π*3²
= 9π
Arot= 9π-18
= 9*(π-2) cm² ist die Antwort, also d) 🤗
Wenn man das Quadrat verallgemeinert und nur (2r)² = 4r² = a² + a² = 2a² berechnet, kommt man auf 2r² = a².
Wenn man dann den Flächeninhalt der gesamten Figur berechnet erhält man:
A = πr² - a² = πr² - 2r² = r²(π - 2)
Diese allgemeine Lösung mit r = 3 zu bestücken ist dann ein Kinderspiel.
😁
@@m.h.6470 Schön dass Du wieder da bist 🙏😃 ja, ich habe das über die Diagonale also Durchmesser des Kreises berechnet, nach dem D²= a²+a² und D=2r, oder D²= 4r² hätte man auch schreiben können......Die Frage ist ehe Grundschule 4. Klasse 🤭🤫
Die Quadratfläche kann man viel einfacher berechnen:
Da die Diagonale 6 lang ist (3•2) und in einem Rechteck beide Diagonalen gleich lang sind und normal aufeinander stehen, rechnet man 6•6/2.
Tolles video! Da merkt man doch leider wie viel man vergisst, wenn man es Jahre lang nicht mehr benötigt...
Bis zum Pythagoras war ich noch selbst gekommen, habe aber die gegebene Diagonale (d) nicht eingesetzt (obwohl anfangs erkannt, dass es ja 2 mal Radius sein muss) und schwuppst hats mich beim "nach x umstellen" mit 2 variablen aus der Bahn geworfen... gar nicht übel, das alles mal aufzufrischen.
Hallo Susanne, guten Morgen,
zuerst Dir und Thomas ein super Wochenende.
Allen anderen hier natürlich auch.
Hier mein Lösungsvoschlag:
Die rote Fläche ergibt sich aus Fläche Kreis (=Ak) - Fläche Quadrat (=Aq)
Ich lasse zunächst die Einheiten weg.
Die Fläche des Kreises ist pi * r^2 = pi * (3)^2 = pi * 9 = 9pi
Der gegebene Radius von 3 entspricht der halben Diagonalen des Quadrats (Durchmesser des Kreises = Diagonale des Quadrates)
Die Diagonale ist demnach 6
Damit lässt sich mit Pythagoras das Quadrat der Seitenlänge s des Quadrats bestimmen.
2s^2 = 6^2 |
2s^2 = 36 |:2
s^2 = 18
Das ist gleichzeitig der der Flächeninhalt des Quadrates
Für die rote Fläche Arot ergibt sich somit:
Arot = Ak - Aq = 9pi - 18 = 9*(pi-2)
Somit ist ist Lösung d) die gesuchte Lösung
Allen noch ein super Wochenende. Lasst es euch gut gehen.
LG aus dem Schwabenland.
Fürs Quadrat hab ich mir im Kopf vier Dreiecke mit Seitenlänge 3 an beiden Katheten daraus gebastelt, also 4x(3²/2) = 18... erschien mir bissl weniger umständlich. So zu denken habe ich allerdings erst hier (wieder) gelernt, danke dafür :)
So ungefähr habe ich es auch gemacht.
Erfolg! Nach Deinen vielen Videos habe ich ein schnellen „Lösungsblick“ bekommen. 😀. Danke!
das war eine sehr einfache Aufgabe !
d ist richtig
Rechnung:
A(rot)=3² * pi - 3² * 2
A= 9 * pi - 9 * 2
A=9 (pi - 2)
3² * 2, weil wenn von einer Kante bis zur Mitte 3 cm in einem Quadrat sind, sind es die anderen Kanten auch. Mit 3² berechnet man 2 Hälften der Dreiecke die entstehen, wenn man diesen radius an allen Ecken des Quadrats einzeichnet also * 2 dann hat man das ganze Quadrat
Ich habe den Radius zur rechten unteren Ecke des Quadrats gezogen, daraus ergibt sich, dass wir 2 kat. haben, also 3 hoch2 + 3 hoch2 = 18 und das ist eine Seite des Quadrats hoch2, also Fläche des Quadrats.
Genau so habe ich das auch gemacht; in einem Quadrat stehen die beiden Diagonalen ja auch senkrecht aufeinander.
@@teejay7578 yep, man hat direkt die gesuchte Fläche. Das liebe ich an Mathe, sie hat mehrere Wege, aber nur ein Ergebniss :)
Alternative für den Flächenihnalt des Quadrats:
der Radius ist eine Hypotenuse eines Gleichschenkeligen rechtwinkeligen Dreiecks. Da c2 = a2+b2 und a2 = b2 heißt das, dass a2 und b2 jeweils c2/2 sind.
c2=9 die Hälfte davon ist 4,5. vier dieser Quadrate befinden sich in unserem Quadrat = 18
Deine Aufgaben sind immer wieder eine schöne Übung im Kopfrechnen fit zu bleiben :D
Ja, genaaaaauu!
Ich habe das tatsächlich im Kopf gerechnet 😄
πr² - 2r² = r² (π - 2)
Man kann eigentlich ohne Rechnung auch alles mit einem guten Raten ausschließen, wenn man die Klammern auflöst:
a) 8π - 8 : 8 passt nicht zu 3. Raus. Besonders wenn man 9π - B noch hinbekommt.
b) 12π - 6 : 12 und 6 passen zu 3 passen, aber wenn man πr² noch drauf hat, dann 9π - B?... Raus.
c) 9π - 25 : 25 passt nicht zu 3.
d) 9π - 9 : 9 passt zu 3. Möglich.
e) 6π / 5 : 5 passt nicht zu 3. Division statt Subtraktion? Und 9π - B... Raus.
Alternativ über die Größen: Kreis zu Quadrat sind ungefähr 3:2 im Verhältnis (genau π:2).
a) 8π - 8 : ~ 24:8 ~ 3:1. Raus.
b) 12π - 6 : ~ 36:6 ~ 6:1. Raus.
c) 9π - 25 : ~ 27:25 ~ 1:1. Raus
d) 9π - 18: ~ 27:18 ~ 3:2. Möglich.
e) 6π / 5 : ~ 18:5 ~ 3.5:1. Raus.
Also selbst wenn man es nicht rechnen könnte, gäbe es genug Indizien, die einem bei gutem Raten helfen würden.
Immer wieder schön dir zuzuhören :) und auch andere Ideen zu sehen
hätte es zwar über 2 dreiecke in der Mitte gelöst (dadurch wars ein einzeiler da höhe der beiden dreiecke und grundfläche bekannt sind ) aber deine Lösung frischt nochmal anderes wissen wieder auf :)
Ja, ich denke auch das wäre die eleganteste Lösung gewesen. (g*h/2)*2 (2*3 * 3)/2 * 2 oder 6*3. Ab ich hatte auch zuerst die Lösung mit Pythagoras im Kopf, gab ja sehr viele rechte Winkel ;.)
Es gilt allgemein r^2*π = Fläche des Umkreises. Im Quadrat gilt d=√2 * a. Da d=2*r gilt ist 4r^2=2*a^2 und damit Fläche des Quadrats = 2*r^2. Für die Differenz gilt also π*r^2-2*r^2, ausklammern von r^2 führt zu r^2(π-2) als allgemeine Lösung für den Flächeninhalt zwischen Umkreis und zugehörigem Quadrat.
Im speziellen Fall für r=3 gilt also 3^2*(π-2)=9*(π-2).
Genau so habe ich das auch gemacht.
Das Quadrat kann in ein Rechteck mit den Seiten 3 und 6 umgeformt werden, also kommen wir auch ohne Pythagoras auf 18
Hallo, das ist eine schöne Aufgabe zum Kopfrechnen: wenn wir die Linie vom Mittelpunkt nach rechts unten ziehen, haben wir ein halbes 3-Quadrat. Davon gibt es 4 Stück. Liebe Grüße Jogi
Noch einfacher ist es jetzt, sich wie eingangs angegeben, nur auf x² zu konzentrieren. Die "4" kannst du jetzt getrost vergessen.. 9+9 😉
Ich habe mir die Lösung überlegt, und dann erst das Video angesehen. Als ich die Antwortmöglichkeiten gelesen habe, war ich zunächst etwas besorgt. Habe dann aber den "Stolperstein" mit der Klammer durchschaut:))))) War wieder eine coole Aufgabe - Danke!
Wie immer sehr interessant. Mein Ansatz: Fläche des Quadrates ist d²/2 Fläche des Kreises r²*pi Dann nur noch die Fläche des Quadrates von der des Kreises abziehen.
Für die Kantenlänge des Quadrats geht auch direkt 3² + 3² = x², wenn man das Quadrat nicht halbiert, sondern viertelt.
Jap, das Schwierige bei der Aufgabe ist eher die richtige Lösung bei den Auswahlmöglichkeiten zu finden.
Warum wird (Pi-2) als (Pi * -2) gelesen!?
Bin da glatt drübergefallen.
ich hab mitlerweile so viele videos von dir geschaut mit solchen aufgaben zum selbst mitdenken, dass ich diesmal garkein problem mehr hatte die lösung zu finden. du förderst wirklich mathematisches denken :)
Dem kann ich nur zustimmen. Nicht die kürzeste, raffinierteste und eleganteste Lösung bringt einem ins mathematische Denken, sondern die genaue Anleitung Schritt für Schritt. Und toll, wenn man mit der Zeit die einzelnen Schritte schon fast vorwegnehmen kann - dann hat man wohl die Sache wirklich verstanden. Und kann sie auch auf andere Aufgaben anwenden.
Auf jeden Fall ein grosser Gewinn, um das verstaubte Wissen wieder aufzufrischen.
Danke! Das Ausrechen hat Spaß gemacht, und ich habe mich gefreut, das ich es noch hinbekommen habe. Ich brauche das zwar nicht fürs Studium (habe ich hinter mir) oder beruflich, aber es ist eine schöne Kopfnuss! Bitte weiter so!
Die Diagonale des Quadrates ist 6cm (also d=6cm)
Dann gibt es für die Diagonale eines Quadrates folgende Formel d=a*√2 (also a=6/√2)
Die Fläche des Quadrates A=a² (also A=18cm²)
Rote Fläche = Kreis - Quadrat
Rote Fläche = r²*Pi - a²
Rote Fläche = 3²*Pi - 18
Rote Fläche = 9*Pi - 18
Rote Fläche = 9*(Pi - 2) cm
Antwort D ist richtig.
LG Gerald
Gerald 🙏👌
Lustig, hab die Aufgabe in der Vorschau gesehen und mir gedacht es müsste funktionell:
r^2*pi-(2r*arccos45°)^2
sein und jetzt ich sehe ihr löst das so einfach, genial.
Du machst das ganz hervorragend! Deine Erklärungen sind bestens präsentiert, leicht verständlich und einfach nachvollziehbar. Bin 65 Jahre und würde mir gerne wünschen, dass in dieser Art und Weise mir jemand Java und C++ vermitteln könnte. Habe nämlich etliche Ideen für unterschiedliche App's, gehe in Kürze in Rente und Lust auf Neues. Bitte mach weiter so!
Einfach anfangen. Die Syntax lernt man mit der Zeit und wenn es einem Spaß macht und man am Ball bleibt, lernt man nebenbei auch noch alles andere. Bücher und Co benutze ich nur noch als Nachschlagwerk.
(3^2 pi) - (3 * 3 * 2)
Wenn dies eine Multiple Choice Frage ist, die unter Zeitdruck gelöst werden muss, würde ich wie folgt vorgehen: Kreisinhalt ist 9*Pi. Damit kommen nur noch c und d als Antworten in Frage. 9*Pi ist ungefähr 28. Bei Antwort c würden davon 25 abgezogen, die rote Fläche wäre also 3 und somit nur wenig mehr als 10 % der Kreisfläche. Ein Blick auf die Zeichnung zeigt, dass das nicht sein kann, also ist d die richtige Antwort.
A(kreis)= r^2*pi = 9*pi
A(quadrat)=2*3*3=18
A = 9*pi - 18
An der art und stimme merkt man, dass es dir nich so schlecht geht,find ich gut,ich fang jetzt mal wieder an zu lernen,und wenn ich mal ü I-net etwas kaufen kann,dann rück ich dir was rüber
All this assumes the end of the line marked 3 is the center of the circle. And the square is square.
Wenn man Mittelpunkt und die 4 Ecken verbindet, ergeben sich 4 Dreiecke mit r*r/2 also 2r². p r² - 2 r² = r² (p-2)
1,414 (Wurzel aus 2) x Seitenlänge des Quadrats = Diagonale des Quadrats - Durchmesser = Diagonale
Die schöne Mathematikerin, mit vielen interessanten Aufgaben👍
Thank you so much
Liebe Susanne! Super wie Du das Lernvideo erklärst Peter Habelsberger Graz Österreich
Ich mag deine Videos sehr gerne sehen. Vielen Dank, dass du uns mit Spaß etwas beibringst. LG :)
x= sqrt(2*r^2)
ich würde die fläche des quadrats so rechnen:
A=1/2×e×f (fläche einer raute)
das quadrat ist die sonderform einer raute, die beiden diagonalen e und f sind gleich lang.
Einfachere Methode:
Konstruiere Mittelpunkt M, konstruiere einen Punkt in der Mitte der Seite des Quadrates P, konstruiere den Punkt Q an einer Ecke des Quadrates. MPQ ist ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck mit Hypotenuse der Länge 3 und Katheten der Länge a/2. Daraus folgt mit Pythagoras
(a/2)^2 + (a/2)^2 = 9 (a^2)/4 + (a^2)/4 = 9 1/2 * a^2 = 9 => a^2 = 18.
a^2 ist der Flächeninhalt des Quadrats.
Dann weitermachen wie im Video.
Flächeninhalt des Quadrats sind 2 Dreieck mit 1/2*g*h -->g=2r; h=r; r=3 --> Fläche Quadrat ist 2*1/2*3*6=18
Das Quadrat zerfällt durch weiter eingezeichnete Radien in 4 gleichschenkliche Dreiecke mit der Schenkel Länge 3, ergibt zu Quadraten zusammengesetzt 2 Qiadrate der Kantenlänge 3....was 2x9 =18 heißt .
Eigentlich muss man noch beweisen, dass die beiden Radien einen 180°-Winkel bilden, also eine Diagonale. Sie sagt "aus Symmetriegründen", aber die müsste man eigentlich noch ausführen. Wenn man z.B. alle 4 Radien einzeichnet, hat man 4 kongruente Dreiecke nach Kongruenzsatz SSS, die dann alle rechtwinklig (am Mittelpunkt) sein müssen.
Hallo und vielen Dank für Ihre "kleinen" Übungsstunden, die ich gerne als Anregung benutze, wenn ich meiner Enkelin in Mathe auf die Sprünge helfe. Ich selbst bin promovierter Mathematiker und vielleicht deswegenn ein wenig zu verbiestert, um ohne Ihre anregenden Beispiele meiner Enkelin erfolgreich zu helfen. Also: vielen Dank und es wäre schön, wenn Sie noch lange weitermachen würden.
Bei A=(pi) * 3² - x² (Kreis minus Quadrat) hab ich nur noch das kleine Dreieck dazu genommen
a²+b²=c² bei einem gleichschenkligen, rechtwinkligem Dreieck also 3²+3² =c² =2×(3²)
Da c=x ist habe ich also
(pi)×3²-2×(3²)
=
(pi)×9-18
=
9×((pi)-2)
Ich bin auf die gleiche Idee gekommen und war überascht, dass sie nicht diesen Rechenweg benutzt hat.
Schule is schon einige Jährchen her und hab mit mathe ned viel zu tun, aber die fläche konnte ich im kopf in wemigen minuten ausrechnen, die richtige antwort zu wählen war fast schon schwieriger😅
Aber eh gut wenn der Aufnahmetest eher Logik testet als Formelwissen.
Habe einfach im Quadrat 4 Dreiecke gebildet X=root(2r^2). Also hat das Quadrat den Flächeninhalt A=X^2=2r^2. Spart sogar mindestens einen Rechenschritt.
Die Fläche des Quadrats geht doch viel schneller. Beide Diagonalen (gedanklich) in das Quadrat einzeichnen und man hat 4 rechtwinklige Dreiecke mit Katheten der Länge 3cm. Daraus setzt man 2 Quadrate mit der Kantenlänge 3cm zusammen und hat somit 2 x (3cm)² = 18cm²
Man hätte auch die gegebene Länge als "kurze" Seite eines Dreiecks nehmen können, bei dem die rechte von dir mit x markierte Seite die Hypotenuse ist.
Super! Aber wozu der Kreis?
Die Seitenlänge des Quadrats ist Wurzel (3² + 3²) also Wurzel aus 18. Somit ist das Quadrat 18.
Alternativ könnte man auch die Wurzel der Diagonale im Quadrat ziehen und dann erhält man direkt die Seitenlänge
Hehe ich dachte schon ich bin der einzigste der darauf gekommen ist... als elektriker lag mir der effektivwert r/1,41 = x/2 sofort im Auge
Reichlich kompliziert. In einem Quadrat habe ich zwei Diagonale. Damit habe ich doch schon g und h des halben Quadrates.
Lösung:
(d) ist korrekt.
Warum?
Die Diagonale entspricht ja offensichtlich 2r. Über Pythagoras können wir in einem Quadrat dann die Gleichung aufstellen:
(2r)² = a² + a² = 2a²
4r² = 2a² |:2
2r² = a²
Der Flächeninhalt für die rote Fläche ist:
A = πr² - a²
A = πr² - 2r²
A = r²(π - 2)
A = 3²(π - 2)
A = 9(π - 2) [cm²]
Kurz und knackig, gute Formulierung 🙏👌
Auch hier ist die Anwendung des Pythagorassatzes nicht nötig: Die Hälfte des Quadrats ist direkt als Quadrat mit der Seitenlinie 3 zu erkennen. Also Quadrat = 2*9.
@@namsawam Da wir aber sowieso die Relation zwischen a² und r² brauchen, ist es ein absoluter Umweg, zuerst den Flächeninhalt des Quadrats zu berechnen. Wie man sieht, überspringe ich diesen Schritt direkt und gehe direkt zur Lösung... Das ist bei deiner Vorgehensweise nicht möglich.
@@m.h.6470 Statt 2*9 kann man auch 2*r² sagen und kommt aufs Selbe wie über den Pytagoras. Also kein Umweg, sogar direkter.
Demnach nur 9π -2*9 ausklammern, und man erspart sich die Umstellung des Pytagoras.
@@pinkeHelga Lol... nur weil du nichts aufschreibst, ist es deshalb nicht kürzer. Ich bräuchte den Pythagoras auch nicht aufschreiben, sondern nur im Kopf machen... dann bin ich in einer Zeile fertig. UNSINN!
Nice. Statt verlängern hab ich den Weg in die nächste Ecke gewählt. Mit zwei gleichen Seiten gehts ja auch 😉 .. 9+9
Eine andere mögliche kurze Lösung: Zweiten Radius in eine benachbarte Ecke einzeichnen, dann hat man einen kleineren rechtwinkligen Dreieck (1/4 des Quadrats), Hypotenuse ist die gesuchte Seite des Quadrats. Daher: 3^2 + 3^2 = 9+9=18. Was zugleich genau die Fläche des Quadrats ist.
Der Rest ist Geschichte:
π*3^2 - 18 = π*9-18 =9(π-2)
Darf ich fragen, ob das heute üblich ist, in Mathe Aufgaben mit einer konkreten Maßeinheit - hier cm^2 - zu stellen? Ich hätte so etwas in der Berufsschule erwartet, aber in einem Studienkolleg? Schließlich gehörtdie Maßeinheit in die Physik und nicht zur Mathematik. Ich bin repetierender Mittfünfziger und habe noch gelernt das zu trennen.
Hallo,
ich hätte da noch eine Alternative:
die Seitenlänge des Quadrates ist
Diagonale x sin(45°)
entspricht: 6 x Wurzel(2)/2
Das zum Quadrat
(6 x Wurzel(2)/2)²
36 x 2 /4
= 18
Geht natürlich noch ne Ecke weiter ohne X - der Flächeninhalt des Quadrates ist 4*(3*3)/2 (4 gleichseitige Dreiecke am Kreuzungspunkt der Diagonalen) und dabei kommt halt auch 3*3*2 = 18 heraus ^^
Welche Breite hat die Linie von dem Quadrat und von dem Kreis? Berührt die äußere Linie die innere Linie vom Kreis oder zählt das noch nicht? Wie groß muss die Überschneidung sein um als "Berührung" zu zählen?
Alternative super schnell, der Kreis mit Pi R Quadrat sofort mit 9 pi sichtbar, und aufgrund der Symetrie die Seitenlänge des Quadrats mittels Phytagoras SQRT(18) und damit die abzuziehende Fläche 18 also D) in weniger als 12 sec.
Die Antwort kann man auch ganz schnell im Kopf schätzen... Kreisfläche ist 3x3x3 = 27. Das Quadrat wie hier gezeigt, oder auch nach Pythagoras 3x3 + 3x3 = 18, also Wurzel davon etwas mehr als 4 für die Seite des Quadrats, also hat das Quadrat etwas mehr als 16 Größe. 27 minus ca 16 is ca 11 - geht man die Möglichen Antworten durch, kann nur d die Lösung sein, falls man kein Papier zur Hand.
Lösung:
a = Seite des Quadrates.
Die Diagonale des Quadrates ist 6. Das bedeutet:
√(a²+a²) = a*√2 = 6 ⟹ a = 6/√2
Rote Fläche = Kreisfläche - Fläche des Quadrates = π*3²-a² = 9π-18
= 9*(π-2)[cm²]
Antwort d) ist richtig.
Zu Berechnen ist es eigentlich ganz einfach: ( r zum Quadrat x Pi ) - (r zum Quadrat * 2). Letzteres ergibt sich logisch dadurch, dass das Quadrat in 4 gleich große Dreiecke geteilt werden kann (einfach 2 gekreuzte Linien, jeweils über die gegenüberliegenden Ecken ziehen). Aus 2 dieser 4 Dreiecken kann man ein (kleineres) Quadrat bilden (was bei gleichschenkeligen, rechtwinkeligen Quadraten immer der Fall ist) und die Fläche des Quadrats besteht eben aus 2 der kleinen Quadraten.
Das Quadrat hat also die Fläche 3 zum Quadrat * 2 ... also 9 * 2 = 18.
Die Schreibweisen der Lösungsvorschläge habe ich nicht verstanden, deswegen bin ich leider gescheitert.
Ich hätte es genauso gemacht, außer dass ich ein kleines Dreieck mit 3 als Katheten und x als Hypotenuse genommen hätte.
Kann man nicht eig auch ainfach die Formel für Drachenvierecke nehmen? Also g.h/2 (6x6/2) dann kommt man meiner meinung nach schneller zum Ergebnis?
Meine Erfahrung aus dem praktischen technischen Leben ist die, dass man eigentlich NIE irgendetwas über den Radius berechnet, es sei denn man entwickelt Neuteile. Wenn man z.B auf einer Baustelle etwas ausmessen muss, dann misst man immer den Durchmesser weil das einfach viel genauer ist als einen imaginären Mittelpunkt zu finden und von dort aus zu messen. Ich rechne seit meiner eigenen Schulzeit immer über Durchmesser, die Mathematik bzw. Lehrerschaft sollte diesen Aspekt auf einmal in ihre Beispiele/Rechenaufgaben einfließen lassen. Also
A = d^2 * PI / 4 statt r2*PI und mehr Aufgaben dazu bieten. (Das soll keine Kritik, sondern nur eine Anregung sein)
👍
Ich bin sonst eine mathematische Niete aber das habe sogar ich hinbekommen. Musste es aber schon aufschreiben um die Lösung zu identifizieren.
Ich versteh nur Bahnhof. Gutes Video!
Find die Berechnung des Quadrates über Pythagoras irgendwie unschön. Letztlich kann man die Formel des Drachens nutzen, was die Diagonale e * Diagonale f / 2 wäre, oder man erkennt 2 Dreiecke darin, deren Fläche Grundfläche (= Diagonale) * Höhe (= Radius) / 2 wäre. Da wir 2 Davon haben kürzt sich der Nenner auch weg und man hat es mit 3*6 auch einfach gelöst.
Wofür soll das ein Aufnahmetest sein? Und wie schaffst du es die Erklärung so kompliziert zu machen?
Pythagoras wird nicht benötigt. Bedenkt man das ein Quadrat auch zwei Dreiecke beinhaltet, muss man nur 3x3cm x2 berechnen oder 6x6cm :2 und bekommt so die Grundfläche des Quadrats welche wie im Video 18cm beträgt.
ich weiß nicht warum, aber tatsächlich finde ich solche Aufgaben recht interessant
Ich hab de Quadradtfläche über die Flächenformel des Gleichschenkeligen Dreiecks ausgerechnte. g= 2*r; h=r; ADreick= 0,5 *g *h = r'2 damit AQuadrat = 2*r'2 Kreis = r'2*pi Endergebnis A= r'2(pi-2)
Ich habe den gleichen Lösungsweg gewählt. Ein anderer ist mir nämlich nicht eingefallen... 😉 Danke für die wieder mal spaßige Aufgabe!
Ein anderer Lösungsweg wäre: (Diagonale (=2r) * r) /2 = Fläche Dreieck über der Diagonalen: Fläche Quadrat = 2 * Fläche Dreieck:. Fläche Keis - Fläche Quadrat = Pi r² - 2 * (2r*r)/2 = 9 Pi - 18 Voila!
Habe direkt aus dem Thumbnail heraus die Fläche berechnet und erst danach, beim Anklicken des Videos gesehen, dass es ja vorgegebene Antwortmöglichkeiten gibt.
Naja, wie auch immer, die Lösung lautet
A ≈ 10,274 cm²
ist die Teilaufgabe (zum Lösen von x²) nicht unnötig umständlich? Ich kann das Quadrat auch in 4 rechtwinklige Dreiecke teilen, deren Seitenlänge bekannt ist (r=3). A = r*r/2*4, kürzen usw. (kommt natürlich am Ende dasselbe raus... ;-))
Der Radius entspricht doch offensichtlich der Länge beider Katheten eines gedachten Dreiecks mit der Seitenlänge des Quadrats als Hypothenuse. Also ganz einfach x²=3²+3²=18.
😂 Hab nur den/das Thumbnail gesehen und ausgerechnet: 10,27. Beim Draufklicken hab ich dann erste gesehen dass man eine Formel angeben soll...
Ich hab das aber anders ausgerechnet: da es ja ein Quadrat ist, kann man die halbe Diagonale auch als Seitenlänge eines Quadrates sehen das halb so groß ist. (zur besseren Vorstellung einfach mal im Mittelpunkt eine Linie ins rechte untere Eck des Quadrats ziehen und man hat, wenn man hier 3x3 dividiert durch 2 nimmt, ein Viertel des gesuchten Quadrats. Das bedeuted, man kann auch einfach 3x3x2 als Flächenberechnung des Quadrates nehmen. Ist auch "9x2" wenn mans unbedingt in der Form haben will um die richtige Formel zu finden.
Die Kantenlänge ist (3+3)/Wurzel(2)
Ich habe die Aufgabe im Kopf gelöst ohne Aufzeichnungen und habe natürlich prompt die Quadratwurzel aus 18 [3*2^(1/2)] gezogen…
Das geht auch ohne phytagoras. Du hast ein 2 Dreiecke mit C=6 und h=3. A=(6 x 3) /2 x2. 2 kürzen, und die Fläche von den 2 Dreiecken bzw des Quadraten ist 18.
Welches Studienkolleg ist das? Ich arbeite am Studienkolleg für ausländische Studierende in Bochum.
Nett gemacht 😃
(3√2)^2 = 18 → 9π - 18 = 9(π - 2)
Schöner Start ins WE. Hab's auch so.
Die Quadratfläche nach Markus-fw4px zu berechnen is quick & easy.
Das weisse Quadrat umfasst 63,662% der Kreisfläche. Grob 2 Drittel. Also 9/0,63661977=14,137167cm² (grob14,5cm²)
Ich bin garnicht auf die Idee mit der Diagonalen gekommen, ich hab den 90 Grad Winkel nicht im Quadrat gesucht sondern in der Mitte gefunden, also die zusätzliche Line nicht 180 Grad zur bestehenden Line gesetzt sondern da halt nach unten oder oben die 90 Grad genommen, dann mit Pythagoras auch die eine Seite aber mit x als c - Ergebnis offensichtlich gleich
A = r²*π - (√2r)² = r²*π - 2*r² = r²(π-2)
3.cos45.2²
Was mir gleich ins Auge gefallen ist.
X = 3 x Wurzel 2, somit ist x = 9 x 2 = 18
Den Zahlenwert hätte ich Dir nach zwei Minuten sagen können. Der Buchstabe der Lösung hätte länger gedauert. Vielleicht sagt das ja auch etwas über die Aufgabenstellung?
Quadrat = 4 x (( 3 x 3 ) / 2 ) = 18,
Kreis = 3 x 3 x Pi = 27,x
Kreis - Quadrat = 9,x